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微分几何在机器人抓取中的应用(一)

上传时间:2019-03-04来源:蓝芯科技

微分几何基础

微分几何是现代数学领域中的重要分支,在理论探索和实际应用中都是重要学科。大名鼎鼎的高斯、欧拉是微分几何学派的创建者(是否记得多少公式和定理以这两人的名字命名)。20世纪是微分几何发展迅猛的100年,中国的数学家也做出过重要贡献,如陈省身、邱成桐(菲尔兹奖得主)。在计算机领域,微分几何是计算机图形学的基础,逼真酷炫的电脑游戏、电影特效等,都是在微分几何基础上的产业化。在机器人领域,核心控制系统需要合适的传感器(如相机)获取信息,并理解环境信息,属于计算机视觉的范畴;如需完成复杂动作,如抓取、放置等操作,则需要理解物体的几何信息,需要用几何特征描述来决策机器人要执行的动作。

完成机器人抓取需要如下两个过程:
·识别过程,属于视觉和深度学习的范畴,在此不再赘述。
·获取物体的三维空间描述,微分几何。
三维空间中的物体有哪些特征呢?

曲率

为理解曲率,首先回到二维平面。什么是曲率?简答说来,是几何体的不平坦程度。平面曲线的曲率定义为其密切圆的倒数。采用微分的定义,密切圆在很小的范围内同曲线重合。故平面中的圆所有点曲率一直,为半径的倒数,密切圆为其本身。直线曲率处处为0,因其密切圆半径无穷大。


曲线的密切圆和密切圆半径。曲率为半径的倒数。


三维空间中可用曲率描述曲面。包括两个主曲率、高斯曲率、平局曲率等。点的主曲率是通过此点曲线最大和最小曲率。高斯曲率为两个曲率之积,平均曲率则是两个主曲率之平均。

一些特殊情况,如负曲率,如马鞍型,常见使用:冷却塔,广州塔。

二次曲线(Conics)和二次曲面(Quadrics)

二次曲线也称圆锥曲线,其在数学上的定位为一个正圆锥面和一个平面的相切形成的曲线。其公司可表述为:


其中A,B,C不得皆等于0。故常见的圆、椭圆、抛物线等皆属于二次曲线。

二次曲面则是三维空间中最常见的曲面,其一般公式为:

常见的二次曲面包括:


·椭球(Ellipsoid),形如



球体是椭球的一种特例


·双曲面(Hyperbolic),形如



·圆锥体(elliptic cone),形如:

一些特殊二次曲面示例:


曲面拟合

在机器人抓取领域,一般采用深度相机作为传感器。深度相机可直接获取空间点云信息。对于特定物体的抓取,一般在检测定位的基础上,采用点云拟合的方式定位,从而获取物体在深度相机坐标系下的位置和姿态。常用的拟合有如下几种:

·平面拟合。空间中的平面可由空间中一点和法向量唯一确定。常用拟合方案有,主成分分析;最小二乘法;随机采样法(RANSAC)。
·圆柱拟合。实际抓取场景中经常碰到圆柱面物体的情况。实际点云拟合中,如果已知主轴方向,则可投影到平面中,做圆的拟合。如方向未知,可首先用PCA的方法确定主轴方向。

·球体拟合,看似复杂,实际只需确定圆心(一个点)和半径。总共4个自由度(未知变量),可使用最小二乘法或数值最优化方法来确定。


不规则形状


机器人抓取的实际场景中,一般曲面较为复杂,很难用简单公式表述。对于复杂曲面(曲线),一般采用ICP(IterativeClosestPoint)的方案完成自由形状的对齐。

总结

曲率是描述空间中的曲线或曲面最重要的特征。一般来说,进行机器人抓取,需要首先利用图像信息确定物体的图像位置,然后通过深度相机获取的点云信息技术其几何特性,完成抓取过程。曲面拟合和ICP的方案仍然有许多细节,在机器人抓取中需要特别注意。


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